Hipérbola

Definición

Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la resta de sus distancias a dos puntos fijos (Focos F y F') es constante en valor absoluto.

|d(P, F) - d(P, F')| = cte
a² = c² - b²

  • Si P es un punto de la elipse, se cumple: |FP - F'P| = 2a
  • Focos: F y F'
  • Vértices: A, A'
  • Distancia AA' = 2a
  • Distancias: OF = OF' = c
  • OA = a
  • Distancia Focal: FF' = 2c

Excentricidad

La excentricidad de una hipérbola es la razón entre su distancia focal y la distancia entre vértices. Su valor es mayor que 1.

e = c/a

Hipérbola horizontal o vertical con centro en el origen

Caso horizontal: Centro O (0, 0) y focos F(c, 0) y F'(-c, 0)

x²/a² - y²/b² = 1
  • Eje real: horizontal
  • Focos: F(c, 0) y F'(-c, 0)
  • Vértices: V(a, 0) y V'(-a, 0)

Ecuación asíntotas:

y = ± bx/a
  • Recordar: b² = c² - a²
  • Eje imaginario: x = 0
  • Eje real: y = 0

Caso vertical: Centro O (0, 0) y focos F(0, c) y F'(0, -c):

y²/a² - x²/b² = 1
  • Eje real: vertical
  • Focos: F(0, c) y F'(0, -c)
  • Vértices: V(0, a) y V'(0, -a)

Ecuación asíntotas:

x = ± by/a
  • Recordar: b² = c² - a²
  • Eje imaginario: y = 0
  • Eje real: x = 0

Hipérbola horizontal o vertical con centro C (h, k)

Caso horizontal: Centro C (h, k) y focos F(h + c, k) y F'(h - c, k)

(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
  • Eje real: horizontal
  • Focos: F(h + c, k) y F'(h - c, k)
  • Vértices: V(h+a, k) y V'(h-a, k)

Ecuación asíntotas:

y - k = ± b(x - h)/a
  • Recordar: b² = c² - a²
  • Eje imaginario: x = h
  • Eje real: y = k

Caso vertical: Centro C (h, k) y focos F(h, k + c) y F'(h, k - c)

(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1
  • Eje real: vertical
  • Focos: F(h, k + c) y F'(h, k - c)
  • Vértices: V(h, k+a) y V'(h, k-a)

Ecuación asíntotas:

x - h = ± b(y - k)/a
  • Recordar: b² = c² - a²
  • Eje imaginario: y = k
  • Eje real: x = h